Après réduction affine de l'ellipse au cercle, trois cordes parallèles manipulables et leurs milieux : le triangle isocèle OMN impose (OI) ⊥ corde, donc tous les milieux sont sur le diamètre perpendiculaire. Contrôle chiffré du déterminant, et vue « ellipse → cercle » montrant que l'alignement se transporte mais pas la perpendicularité.
Problème 4(i) du Devoir I (MAT2400). Une conique C (ellipse, parabole ou hyperbole) et sa tangente L en P, à gauche ; leurs images par une transformation affine réglable φ(x) = A·x + t, à droite. La conique image reste une conique de même type (δ′ = δ/(det A)²) et la tangente image reste tangente : le contrôle chiffré compare ∇h(φ(P)) = (A⁻¹)ᵀ∇f(P) et le discriminant de la restriction de h à la droite, qui reste nul (racine double). Le curseur μ décale la parallèle : sécante (Δ > 0), tangente (Δ = 0), extérieure (Δ < 0) — le signe est conservé par φ.
Problème 4(ii) du Devoir I (MAT2400). Une ellipse inscrite dans un triangle ABC, tangente en R ∈ AB, Q ∈ AC, P ∈ BC : à gauche le triangle image et son cercle inscrit (où A′R′ = A′Q′ — tangentes égales issues d'un sommet), à droite l'ellipse et ses points de contact. Le produit (AR/RB)·(BP/PC)·(CQ/QA) est calculé en direct sur les longueurs réelles et vaut 1 dans les deux vues, bien que AR ≠ AQ dans l'ellipse ; la concourance de AP, BQ, CR est vérifiée par intersection (distance à CR = 0) et recoupée par les coordonnées barycentriques du point de Gergonne.
Un carré 2D flotte dans le plan z = 1 : les coefficients h₀ et h₁ (bas des deux premières colonnes de la matrice 3×3) cisaillent l'espace selon z, et la re-projection (division par z′) produit l'effet de perspective. Voyez en 3D les deux colonnes en flèches avec leur chute h₀, h₁, la carte de profondeur z′ du plan de l'image, puis l'image re-projetée où les parallèles convergent sur la droite de fuite. Animation : le carré monte, h₀ et h₁ varient en direct.
Dans le modèle sphérique de ℝP², un point est une paire de points antipodaux et une droite projective est un grand cercle. Faites bouger L₂ : les deux droites se coupent toujours, en deux points antipodaux — donc en un seul point de ℝP². Preset « parallèles affines » : le point d'intersection passe à l'infini (Z = 0) et le mini-graphe montre les deux droites devenues parallèles dans ℝ².
Le noyau de T_u(v) = ⟨u, v⟩ est l'hyperplan orthogonal à u. Déplacez u et un vecteur d'essai v : dès que ⟨u, v⟩ = 0, v reste dans le plan. Effets type jeu vidéo (shader énergétique, particules, ondes de choc).
Réflexion par rapport à une droite d'angle θ : S(x) = 2·proj(x) − x, matrice S_θ = 2uuᵀ − I. Mode 2D interactif + bascule 3D (axe u dans l'espace), VFX néon, particules et ondes de choc.
Le noyau de B (3×4) est un plan vectoriel de dimension 2 : x = s·(−2, 3, 1, 0) + t·(1, −4, 0, 1). Curseurs s et t, animation du balayage, projection 3D sur (x₁, x₂, x₃) et vérification B·x = 0 en direct.
Le plan engendré par v₁ = (-2, 1, 0) et v₂ = (1, 0, 1) : visualisez l'espace des solutions, les vecteurs directeurs et l'origine (0,0,0) qui appartient bien au plan.
Deux plans confondus : l'intersection est un plan affine qui ne passe PAS par l'origine. Visualisez le décalage par rapport au plan parallèle à l'origine et le vecteur constant.
Un objet 3D projette une ombre 2D : explorez la translation produite par un cisaillement homogène selon la hauteur, avec rendu néon et animation.
Faites évoluer un vaisseau dans un champ d’astéroïdes animé : composez une matrice d’échelle, une rotation et un vecteur de translation.
Comme dans la vidéo de J. Speranza : glissez le point bleu (a₁₂) et le point orange (a₂₁), milieux des côtés du carré, pour cisailler en parallélogramme — puis relevez le défi arcade : visez la cible avant la fin du temps.
Scale, rotate, reflect, shear et project : explorez les transformations linéaires, les images et la composition A·B avec une matrice 2×2.
Ajoutez une translation à une matrice : observez la différence entre transformation linéaire et transformation affine sur une image ou une émoticône.
Un cône à deux nappes coupé par un plan dont on incline l'angle α : l'intersection passe du cercle à l'ellipse, à la parabole puis à l'hyperbole.
Projetez une diapositive (4 points alignés) sur un mur qui s'incline : les distances se déforment, mais le birapport reste rigoureusement invariant.
La même scène en 3D manipulable : tournez autour de la diapositive, de l'œil et du mur pour voir les rayons de projection et la déformation sous tous les angles.
Parabole, ellipse, hyperbole, cercle, courbes paramétriques (Lissajous, astroïde) tracées en direct avec un curseur de paramètre.
Coût minimum de z = 6x² + 12y² sous la contrainte x + y = 90 : glissez le long de la contrainte et observez le minimum en (x = 60, y = 30), z = 32 400.
Le noyau de T_u(v) = ⟨u, v⟩ est l'hyperplan orthogonal à u. Déplacez u et un vecteur d'essai v : dès que ⟨u, v⟩ = 0, v reste dans le plan. Effets type jeu vidéo (shader énergétique, particules, ondes de choc).
Réflexion par rapport à une droite d'angle θ : S(x) = 2·proj(x) − x, matrice S_θ = 2uuᵀ − I. Mode 2D interactif + bascule 3D (axe u dans l'espace), VFX néon, particules et ondes de choc.
Le noyau de B (3×4) est un plan vectoriel de dimension 2 : x = s·(−2, 3, 1, 0) + t·(1, −4, 0, 1). Curseurs s et t, animation du balayage, projection 3D sur (x₁, x₂, x₃) et vérification B·x = 0 en direct.
Le plan engendré par v₁ = (-2, 1, 0) et v₂ = (1, 0, 1) : visualisez l'espace des solutions, les vecteurs directeurs et l'origine (0,0,0) qui appartient bien au plan.
Deux plans confondus : l'intersection est un plan affine qui ne passe PAS par l'origine. Visualisez le décalage par rapport au plan parallèle à l'origine et le vecteur constant.
Un objet 3D projette une ombre 2D : explorez la translation produite par un cisaillement homogène selon la hauteur, avec rendu néon et animation.
Faites évoluer un vaisseau dans un champ d’astéroïdes animé : composez une matrice d’échelle, une rotation et un vecteur de translation.
Comme dans la vidéo de J. Speranza : glissez le point bleu (a₁₂) et le point orange (a₂₁), milieux des côtés du carré, pour cisailler en parallélogramme — puis relevez le défi arcade : visez la cible avant la fin du temps.
Scale, rotate, reflect, shear et project : explorez les transformations linéaires, les images et la composition A·B avec une matrice 2×2.
Ajoutez une translation à une matrice : observez la différence entre transformation linéaire et transformation affine sur une image ou une émoticône.
Après réduction affine de l'ellipse au cercle, trois cordes parallèles manipulables et leurs milieux : le triangle isocèle OMN impose (OI) ⊥ corde, donc tous les milieux sont sur le diamètre perpendiculaire. Contrôle chiffré du déterminant, et vue « ellipse → cercle » montrant que l'alignement se transporte mais pas la perpendicularité.
Problème 4(i) du Devoir I (MAT2400). Une conique C (ellipse, parabole ou hyperbole) et sa tangente L en P, à gauche ; leurs images par une transformation affine réglable φ(x) = A·x + t, à droite. La conique image reste une conique de même type (δ′ = δ/(det A)²) et la tangente image reste tangente : le contrôle chiffré compare ∇h(φ(P)) = (A⁻¹)ᵀ∇f(P) et le discriminant de la restriction de h à la droite, qui reste nul (racine double). Le curseur μ décale la parallèle : sécante (Δ > 0), tangente (Δ = 0), extérieure (Δ < 0) — le signe est conservé par φ.
Problème 4(ii) du Devoir I (MAT2400). Une ellipse inscrite dans un triangle ABC, tangente en R ∈ AB, Q ∈ AC, P ∈ BC : à gauche le triangle image et son cercle inscrit (où A′R′ = A′Q′ — tangentes égales issues d'un sommet), à droite l'ellipse et ses points de contact. Le produit (AR/RB)·(BP/PC)·(CQ/QA) est calculé en direct sur les longueurs réelles et vaut 1 dans les deux vues, bien que AR ≠ AQ dans l'ellipse ; la concourance de AP, BQ, CR est vérifiée par intersection (distance à CR = 0) et recoupée par les coordonnées barycentriques du point de Gergonne.
Un cône à deux nappes coupé par un plan dont on incline l'angle α : l'intersection passe du cercle à l'ellipse, à la parabole puis à l'hyperbole.
Parabole, ellipse, hyperbole, cercle, courbes paramétriques (Lissajous, astroïde) tracées en direct avec un curseur de paramètre.
Un carré 2D flotte dans le plan z = 1 : les coefficients h₀ et h₁ (bas des deux premières colonnes de la matrice 3×3) cisaillent l'espace selon z, et la re-projection (division par z′) produit l'effet de perspective. Voyez en 3D les deux colonnes en flèches avec leur chute h₀, h₁, la carte de profondeur z′ du plan de l'image, puis l'image re-projetée où les parallèles convergent sur la droite de fuite. Animation : le carré monte, h₀ et h₁ varient en direct.
Dans le modèle sphérique de ℝP², un point est une paire de points antipodaux et une droite projective est un grand cercle. Faites bouger L₂ : les deux droites se coupent toujours, en deux points antipodaux — donc en un seul point de ℝP². Preset « parallèles affines » : le point d'intersection passe à l'infini (Z = 0) et le mini-graphe montre les deux droites devenues parallèles dans ℝ².
Projetez une diapositive (4 points alignés) sur un mur qui s'incline : les distances se déforment, mais le birapport reste rigoureusement invariant.
La même scène en 3D manipulable : tournez autour de la diapositive, de l'œil et du mur pour voir les rayons de projection et la déformation sous tous les angles.