Coordonnées homogènes : h₀, h₁ et l'effet de z′

Pourquoi ces deux colonnes ? Les colonnes d'une matrice sont les images des vecteurs de base : M·e₁, M·e₂, M·e₃. Or M·(x,y,1) = x·(colonne 1) + y·(colonne 2) + 1·(colonne 3), donc sa troisième composante — la profondeur z′ — vaut x·h₀ + y·h₁ + 1·1 : elle ne dépend que des hauteurs des colonnes. Attention au niveau où l'on se place : sur un vecteur u = (x,y,z) de ℝ³, h₀ et h₁ ne touchent que la 3ᵉ composante — M·u = (a x + b y + c z, d x + e y + f z, h₀x + h₁y + z) : les deux premières les ignorent. Ils ne modifient les x et y de l'image que par la division par z′ (facteur 1/z′). Les six autres coefficients ne déterminent que X et Y : ils forment la partie affine de l'homographie, laquelle n'est affine que si h₀ = h₁ = 0. Tout l'effet de perspective tient donc dans h₀ et h₁ : ce sont les paramètres de raccourcissement perspectif. La 3ᵉ colonne est l'image de e₃ = (0,0,1), c'est-à-dire de l'origine du plan : sa translation (c, f). Le dernier coefficient (1) est une convention de normalisation : multiplier toute la matrice par λ ne change pas la transformation, donc on peut toujours ramener ce coefficient à 1 (en divisant toute la matrice par w) — et c'est de ce choix que dépend le signe de z′.

Deux translations à ne pas confondre. Déplacer le carré (x₀, y₀) change le résultat M·p, jamais M : la matrice est l'opérateur, le carré l'opérande. En revanche, si on écrit la transformation dans le repère du carré, la matrice devient M·T(x₀,y₀) et sa 3ᵉ colonne suit x₀ et y₀ : (x₀, y₀, 1 + h₀x₀ + h₁y₀) quand la partie affine est l'identité. Enfin (c, f) n'est pas la même translation : elle s'ajoute à (X, Y) avant la division, donc l'image se déplace de (c, f)/z′ et z′ ne change pas, tandis que déplacer l'objet change z′ dès que h₀ ou h₁ ≠ 0. L'écart entre les deux vaut exactement h₀x₀ + h₁y₀ : c'est le terme de profondeur que (c, f) ne produit pas.