Plan affine (hors origine) dans ℝ³

Système de deux plans confondus — intersection = un plan qui ne passe pas par l'origine.

x + 2y − z = 1
2x + 4y − 2z = 2 ⟺ même plan

Plan affine (pas un sous-espace) (0, 0, 0) ↦ 0 + 0 − 0 = 0 ≠ 1 ⟹ 0 ∉ plan

Opacité plan 30%

Décalage réf. 15%

Solution paramétrique

(x, y, z) = (1, 0, 0) + s·(−2, 1, 0) + t·(1, 0, 1)

Point particulier = (1, 0, 0)

n = (1, 2, −1) (normal)

rang = 1 (2 équations dépendantes)

Plan solution x + 2y − z = 1

Point (1, 0, 0) sur le plan

Plan parallèle à l'origine x + 2y − z = 0

n = (1, 2, −1) normal

Vecteur décalage (1, 0, 0)

Origine (0, 0, 0)

Contrairement au noyau (plan par l'origine), ce plan n'est pas un sous-espace vectoriel : il ne contient pas le vecteur nul. C'est un sous-espace affine = noyau + vecteur constant. Les deux droites de vecteurs directeurs (−2, 1, 0) et (1, 0, 1) sont parallèles à celles du plan par l'origine — seul change le point de référence.