ℝP² : le modèle sphérique — deux droites se coupent toujours

Dans le modèle sphérique, un point de ℝP² est une paire de points antipodaux {v, −v} de la sphère S², et une droite projective est un grand cercle. Tournez la scène (glisser), zoomez (molette), puis faites bouger L₂ : les deux droites se coupent toujours, en deux points antipodaux — donc en un seul point de ℝP².

L₁ ∩ L₂ = un seul point de ℝP² …

Inclinaison θ₂ θ₂ = 60°

Azimut φ₂ φ₂ = 90°

Azimut φ₁ φ₁ = 0°

Identifier les antipodes : ℝP² = S²/{±1} Afficher la droite à l'infini Z = 0

Équations des droites (aX + bY + cZ = 0)

L₁—

L₂—

Intersection [X, Y, Z]—

Normales (n₁ · n₂)—

Carte affine Z = 1

—

droite projective L₁ (grand cercle)

droite projective L₂ (grand cercle)

points d'intersection ±v (une paire antipodale)

droite à l'infini Z = 0 (facultative)

Deux plans vectoriels distincts de ℝ³ se coupent toujours selon une droite vectorielle (Grassmann : dim(U₁∩U₂) = 4 − dim(U₁+U₂) ≥ 1). Cette droite perce la sphère en deux points antipodaux, qui sont un seul point de ℝP² : il n'y a pas de droites parallèles dans ℝP². Three.js r128 vendored (MIT), 100 % hors-ligne.