Ellipse inscrite : Ceva et point de Gergonne
Problème 4(ii) du Devoir I (MAT2400). Une ellipse est inscrite dans un triangle
ABC , tangente aux côtés en P ∈ BC, Q ∈ CA, R ∈ AB. On veut
(AR/RB)·(BP/PC)·(CQ/QA) = 1 , puis la concourance de AP , BQ , CR .
Où en est la preuve ?
① Ramener l'ellipse à un cercle (φ affine)
② Transporter la configuration (tangence, rapports)
③ Dans le cercle : AR = AQ, BP = BR, CQ = CP
④ Revenir à l'ellipse (φ⁻¹) et conclure par Ceva
Vue
Cercle + ellipse (φ et φ⁻¹)
Ellipse seule
À gauche le triangle image
A′B′C′ et son cercle inscrit ; à droite le triangle ABC et
l'ellipse , image du cercle par φ. Les rapports et la concourance se transportent.
Le triangle
Équilatéral
Scalène
Très aplati
⟲ Réinitialiser
Glissez les sommets A , B ou C
directement sur la figure (dans l'une ou l'autre vue).
Relevés en direct
✓ produit = 1 et céviennes concourantes
Pourquoi c'est vrai
Dans le cercle : les deux tangentes issues d'un sommet ont même longueur
(triangles rectangles isométriques) ⟹ A′R′ = A′Q′ = x , B′R′ = B′P′ = y ,
C′Q′ = C′P′ = z .D'où (x/y)·(y/z)·(z/x) = 1 : les trois facteurs se simplifient deux à deux.
Retour à l'ellipse : une transformation affine préserve le rapport simple
de trois points alignés, donc chaque rapport est inchangé. Le produit vaut encore 1.Réciproque de Ceva : le produit vaut 1 ⟹ AP, BQ, CR sont concourantes —
au point de Gergonne de ABC relativement à l'ellipse.
Dans l'ellipse, AR ≠ AQ en général : c'est le produit
des rapports qui est invariant, pas chaque longueur.
🖱️ Glissez un sommet (A, B ou C) · curseurs α, β, θ pour déformer l'ellipse ·
cochez/décochez les marques d'égalité · flèches du clavier : déplacer le sommet sélectionné ·
Tab : changer de sommet